[컴퓨터시스템구조] 17. 부동 소수점

부동 소수점(Floating Point)

• 정수가 아닌 표현
  
  • 매우 작은 숫자와 매우 큰 숫자
• 과학적 표기법과 유사
  
  • 2.34 * 10^56
  • +0.002 * 10^–4
  • +987.02 * 10^9
• 2진법
  
  • ±1.xxxxxxx_2 * 2^yyyy
• C의 float 및 double 유형

 

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부동 소수점 표준

• IEEE Std 754-1985에 정의
• 표현의 다양화에 대응하여 개발됨
  
  • 과학 코드의 이식성 문제
• 이제 거의 보편적으로 채택
• 두 가지 표현
  
  • Single precision (32비트)
  • Double precision (64비트)

 

 

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IEEE 부동 소수점 형식

	Sign	Exponent(지수)	Fraction(가수)
single : 32비트	1비트	8비트	23비트
duoble : 64비트	1비트	11비트	52비트

 

X = (-1)^S * (1+Fraction) * 2^(Exponent - Bias)

 

• S: sign bit, 부호 비트
  • 0 : 음수가 아님
  • 1 : 음수
• 유효함수 정규화 : 1.0 ≤ |유효함수| < 2.0
  • 정규화 이후 소수점 앞의 수는 1
  • 예) 1010.1101 → 1.0101101 * 2^3
• Fraction(가수) : 정규화 이후 1.xxxx...x일때
  • xxxx...x 부분
  • 뒤는 0으로 채움
  • 예) 1.0101101의 Fraction : 0101101

• Exponent(지수) : 실제 지수 - (Bias)편향
  
  • 지수가 부호가 없는지 확인
  • single: bias = 127
  • double: bias = 1023

 

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Single-Precision 범위

• 지수 : 00000000 ~ 11111111 (8비트)
• 가장 작은 값
  • Fraction : 000...00 → significand = 1.0
  • 지수 : 00000001
  • 실제 지수 = 1 - 127 = -126
  • ± 1.0 * 2^-126 ≈ ± 1.2 * 10^-38
• 가장 큰값
  
  • Fraction : 111...11 → signficand ≈ 2.0
  • 지수 : 11111110
  • 실제 지수 = 254 - 127 = +127
  • ± 2.0 * 2^+127 ≈ ± 3.4 * 10^+38

 

Double-Precision 범위

• 지수 : 00000000000 ~ 11111111111 (11비트)
• 가장 작은 값
  • Fraction : 000…00 → significand = 1.0
  • 지수 : 00000000001
  • 실제 지수 = 1 - 1023 = -1022
  • ± 1.0 * 2^-1022 ≈ ± 2.2 * 10^-308
• 가장 큰값
  
  • Fraction : 111…11 → significand ≈ 2.0
  • 지수 : 11111111110
  • 실제 지수 = 2046 - 1023 = +1023
  • ± 2.0 * 2^+1023 ≈ ± 1.8 * 10^+308

 

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부동 소수점 정밀도

• 상대 정밀도
• 모든 소수 비트는 중요합니다.
  
  • single : 약 2^-23
    
    • 23 * log_10 2 ≒ 23 * 0.3 ≒ 소수점 이하 6자리 정밀도
  • double : 약 2^-52
    
    • 52 * log_10 2 ≒ 52 * 0.3 ≒ 소수점 이하 16자리 정밀도

 

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부동 소수점 예시 1

10진수 → 2진수

• 예) -0.75

-0.75
= (-1)^1 * 0.11_2
= (-1)^1 * 1.1_2 * 2^-1

 

• S = 1
• 1.Fraction = 1.1
  • 1000…00_2
• Exponent - Bias = -1
  
  • Exponent = -1 + Bias
  • Single: -1 + 127 = 126 = 01111110_2
  • Double: -1 + 1023 = 1022 = 01111111110_2

 

• Single: 1 01111110 1000…00
• Double: 1 01111111110 1000…00

 

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부동 소수점 예시 2

2진수 → 10진수

• 예) single precision : 1 10000001 01000…00

S	Exponent	Fraction
1	10000001	01000…00

 

• 지수 : 10000001_2 = 129

x = (-1)^1 * 1.01_2 * 2^(129-127)
= -1.01_2 * 2^(2)
= -101_2
= -5.0

 

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비정규 숫자

• 지수 = 000...0 → 숨겨진 비트는 0

x = (-1)^S * (0+Fraction) * 2^(-Bias)
single : (-1)^S * (0+Fraction) * 2^(-127)
double : (-1)^S * (0+Fraction) * 2^(-1023)

• 일반 숫자보다 작음
  
  • 정밀도가 감소하면서 점진적인 언더플로우를 허용한다.

 

• Fraction = 000...0

x = (-1)^S * (0+0) * 2^(-Bias) = ± 0.0

 

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무한대와 NaN

• 지수 = 111...1, Fraction = 000...0
  
  • ±무한대
  • 후속 계산에 사용할 수 있어 오버플로 검사가 필요하지 않다.
• 지수 = 111...1, Fraction ≠ 000...0
  
  • 숫자 없음(NaN)
  • 정의되지 않은 결과를 나타낸다.
  • 예: 0.0 / 0.0
  • 후속 계산에 사용할 수 있다.

 

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부동 소수점 덧셈

9.999 * 10^1 + 1.610 * 10^-1

 

• 1. 소수점 정렬
  
  • 큰 지수에 맞춘다.

9.999 * 10^1 + 0.016 * 10^1

 

• 2. 유효 숫자를 더한다.

9.999 * 10^1 + 0.016 * 10^1 = 10.015 * 10^1

 

• 3. 결과 정규화, 오버플로우/언더플로우 확인

1.0015 * 10^2

 

• 4. 필요한 경우 반올림하고 다시 정규화한다.

1.002 * 10^2

 

부동 소수점 덧셈 2진수 예제

1.000_2 * 2^-1 + -1.110_2 * 2^-2

• (0.5 + -0.4375)

 

• 1. 소수점 정렬
  
  • 큰 지수에 맞춘다.

1.000_2 * 2^-1 + -0.111_2 * 2^-1

 

• 2. 유효 숫자를 더한다.

1.000_2 * 2^-1 + -0.111_2 * 2^-1 = 0.001_2 * 2^-1

 

• 3. 결과 정규화, 오버플로우/언더플로우 확인

1.000_2 * 2^-4

• 오버/언더플로우 없음

 

• 4. 필요한 경우 반올림하고 다시 정규화한다.

1.000_2 * 2^-4

• 변화 없음
• 0.0625

 

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부동소수점 가산기 하드웨어

• 정수 가산기보다 훨씬 더 복잡하다.
• 한 클럭 주기로 수행하면 시간이 너무 오래 걸린다.
  
  • 정수 연산보다 훨씬 길다
  • 시계가 느려지면 모든 명령에 불이익이 발생한다.
• 부동소수 가산기는 일반적으로 여러 사이클이 소요된다.
  
  • 파이프라인 가능

 

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부동 소수점 곱셈

1.110 * 10^10 * 9.200 * 10^-5

 

• 1. 지수 더하기
  
  • 편향된(Biased) 지수의 경우 합계에서 편향을 뺀다.

새 지수 = 10 + -5 = 5

 

• 2. 유효숫자 곱하기

1.110 * 9.200 = 10.212
10.212 * 10^5

 

• 3. 결과 정규화, 오버플로우/언더플로우 확인

1.0212 * 10^6

 

• 4. 필요한 경우 반올림하고 다시 정규화한다.

1.021 * 10^6

 

• 5. 피연산자의 부호로부터 결과의 부호를 결정한다.

+1.021 * 10^6

 

부동 소수점 곱셈 2진수 예제

1.000_2 * 2^(-1) × -1.110_2 * 2^(-2) 

• (0.5 * -0.4375)

 

• 1. 지수 추가

Unbiased : -1 + -2 = -3
Biased : -1 + -2 + 127 = 124

 

• 2. 유효숫자 곱하기

1.000_2 * 1.110_2 = 1.110_2
1.110_2 * 2^-3

 

• 3. 결과 정규화 및 오버플로우/언더플로우 확인

1.110_2 * 2^–3

• (변화 없음), 오버/언더플로우 없음

 

• 4. 필요한 경우 반올림하고 다시 정규화한다.

1.110_2 * 2^–3

• (변화 없음)

 

• 5. 부호 결정

-1.110_2 * 2^-3 = -0.21875

 

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부동소수점 산술 하드웨어

• 부동소수점 multiplier는 부동소수점 가산기와 비슷하다.
  
  • 그러나 가산기 대신 유효숫자에 multiplier를 사용한다.
• 부동소수점 산술 하드웨어는 일반적으로
  
  • 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 역수, 제곱근
  • 부동소수점 ↔ 정수 변환
• 작업에는 일반적으로 여러 주기가 소요된다.
  
  • 파이프라인 가능